UNIVERSITE DE METZ Année Universitaire 2000/2001

Département de Mathématiques lundi, le 3 septembre 2001, 14.00-17.00 h.

Prof. Raymond Mortini N^{o} d’anonymat: \overline{| | | − | | | | − | | | |}

Examen analyse réelle maîtrise

Documents non autorisés

1^{ere} partie: TOPOLOGIE

cours

(1) Enoncer les théorèmes de Tychonov et de Tietze.

(2) Donner les définitions suivantes: suite et sous-suite généralisée, convergence d’un filtre.

3) Quelles relations y-a-t’il entre la convergence de filtres et la convergence de suites généralisées?

Exercice 1

Soit (E, d) un espace mtrique. On dit qu’une partie N de E est nulle part dense, si \overline{N}^{0} = ∅. Montrer que N est nulle part dense dans E si et seulement si chaque boule ouverte B de E contient une boule disjointe avec N.

Une partie M de E est dite maigre, si elle est contenue dans une runion dnombrable de ferms d’intrieur vide. (i) Montrer que M ⊆ E est maigre si et seulement si M est runion dnombrable d’ensembles nulle part denses dans E.

(ii) Montrer l’quivalence des assertions suivantes:

(1) Toute intersection dnombrable d’ouverts denses dans E est dense, c..d. E est un espace de Baire (par dfinition).

(2) Toute runion dnombrable de ferms d’intrieur vide est d’intrieur vide.

(3) M^{0} = ∅ pour toute partie maigre M de E.

(4) Aucun ouvert non vide de E est maigre.

(5) \overline{E \ M} = E pour tout M ⊆ E, M maigre.

Donner des exemples et des contre-exemples d’espaces de Baire.

Exercice 2

Soit (E, d) un espace métrique complet et U ⊆ E un ouvert de E, U ≠ E et U^{c} := E \ U. Soit ρ(x, y) = d(x, y)+|\frac{1}{d(x,U^{c})} − \frac{1}{d(y,U^{c})} |. Montrer que ρ engendre une distance équivalente à d sur U et que (U, ρ) est complet.

t.s.v.p.

2^{me} partie: ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

cours

a) Donner des exemples d’espaces vectoriels localement convexes non normables.

b) Donner les définitions des topologies faible et faible-*.

c) Donner la définition d’un espace réflexif. Exemples? Contre-exemples?

d) Soit B = {x ∈ X : ∥x∥ ≤ 1} la boule unité dans un espace normé X. Soit (E, ∥ · ∥) un espace normé, (E^{∗}, ∥·∥_{op}) son dual topologique muni avec la norme ∥x^{∗}∥_{op} = sup{| ⟨x, x^{∗}⟩ | : ∥x∥ ≤ 1}.

Est-ce que B est compacte pour i) X = (E, ∥ · ∥), ii) X = (E^{∗}, ∥ · ∥_{op}), iii) X = (E^{∗}, σ(E^{∗}, E)), iv) X = (E^{∗}, σ(E^{∗}, E^{∗∗}))?

(A justifier).

e) Démontrer le théorème suivant et donner les définitions de tous les termes qui apparaissent:

Soit (E, T ) un espace vectoriel localement convexe. Alors il existe une famille faiblement séparante P de semi-normes continues sur E telle que la topologie O_{P} invariante par translation engendrée par P concide avec T .

Exercice 3 Soit E un espace vectoriel muni de la topologie discrète T .

1) Est-ce que (E, T ) est un espace vectoriel topologique localement convexe?

2) Est-ce que (E, T ) est métrisable par une distance invariante par translation?

3) Est-ce que (E, T ) est normable?