UNIVERSITE DE METZ Année Universitaire 2000/2001

Département de Mathématiques jeudi, le 25 janvier 2001, 13.00-16.00 h.

Prof. Raymond Mortini N^{o} d’anonymat: \overline{| | | − | | | | − | | | |}

Examen analyse réelle maîtrise

Documents et calculatrices non autorisés

1^{ere} partie: TOPOLOGIE

cours (2)

a) Enoncer le théorème de Tietze et le lemme d’Alexandre.

b) Comment peut-on caractériser la compacité dans les espaces métriques?

Exercices simples (18)

(2) 1) Montrer que deux parties d’un espace topologique ont même adhérence si et seulement si tout ouvert qui coupe l’une de ces parties coupe l’autre.

(3) 2) Montrer que la famille {[a, ∞ [: a ∈ ℝ} est une base d’une topologie sur ℝ. Déterminer pour cette topologie l’adhérence et l’intérieur de ] 0, 1 [, ℕ, ℚ.

(2) 3) On munit ℕ de la topologie discrète. Quelles sont alors les suites convergentes et les parties compactes de ℕ?

(3) 4) Montrer que F = \{A ⊆ ℝ : \sqrt{2} ∈ A et \sqrt{3} ∈ A\} est un filtre de ℝ. On munit ℝ de la topologie euclidienne. F est-il convergent? Même question si ℝ est muni de la topologie cofinie.

(3) 5) On munit ℝ de la topologie euclidienne. Est-ce que l’espace quotient ℝ/ℚ est discret? localement compact? normal?

(2) 6) Est-ce que le produit topologique ∏_{n∈ℕ} E_{n}, où pour tout n E_{n} est l’espace discret {0, 1}, est discret?

(3) 7) Dans un espace topologique séparé X, soit (V_{n})_{n≥1} une suite décroissante de voisinages compacts de x ∈ X. Montrer que (V_{n})_{n≥1} est un système fondamental de voisinages de x si et seulement si ⋂_{n≥1} V_{n} = {x}.

t.s.v.p.

2^{me} partie: ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

Cours (3+1+2+1+2=9)

1) Enoncer les théorèmes de Kolomogorov, de Mazur, d’Eberlein Smulian et un des théorèmes de séparation.

2) Donner des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un espace vectoriel topologique localement convexe soit métrisable. Est-ce que pour un espace de Banach, (E^{∗}, σ(E^{∗}, E)) est métrisable? (sans démonstration).

3) i) Montrer que sur un espace normé toutes les formes linéaires sont continues si et seulement si la dimension de E est finie.

ii) Est-ce que cette assertion reste vraie pour des espaces vectoriels topologiques arbitraires respectivement espaces vectoriels topologiques localement convexes?

4) Définir les termes: équilibré, absorbant, T -borné, jauge de Minkovski. Exercice 1 (3) Soit E un espace vectoriel muni de la topologie discrète T .

1) Est-ce que (E, T ) est un espace vectoriel topologique localement convexe?

2) Est-ce que (E, T ) est métrisable par une distance invariante par translation?

3) Est-ce que (E, T ) est normable? Exercice 2 (4) Soit (E, T ) un espace vectoriel topologique et V un voisinage de 0_{E}. Montrer:

a) Si 0 < r_{1} < r_{2} < ⋯ et r_{n} → ∞, alors E = ⋃_{n=1}^{∞} r_{n}V.

b) Chaque partie compacte de E est T -borné. Exercice 3 (4)

a) Justifier que sur chaque espace vectoriel on peut définir une norme.

b) Montrer que l’espace de Fréchet (C^{∞}([0, 1]), {p_{n} : n ∈ ℕ}) muni du système des seminormes p_{n}(f) = max_{0≤x≤1} |f^{(n)}(x)| n’est pas normable. Contradiction à (a)?