UNIVERSITE DE METZ Année Universitaire 1999/2000

Département de Mathématiques mercredi, le 6 septembre 2000, 14.00-17.00 h.

Prof. Raymond Mortini N^{o} d’anonymat: \overline{| | | − | | | | − | | | |}

Examen analyse réelle maîtrise

Documents et calculatrices non autorisés

1^{ere} partie: TOPOLOGIE

Exercice 1 (5) Soit X un espace séparé et K_{1} et K_{2} deux parties compactes disjointes de X. Montrer qu’il existe deux ouverts O_{1} et O_{2} tels que:

K_{1} ⊆ O_{1}, K_{2} ⊆ O_{2} et O_{1} ∩ O_{2} = ∅.

Exercice 2 (4) Soit {X_{λ} : λ ∈ Λ} un système non vide d’espaces topologiques et X = ∏_{λ∈Λ} X_{λ} leur produit. Montrer qu’un filtre F sur X converge vers x = (x_{λ}) ∈ X si et seulement si pour tout λ le système π_{λ}(F), (qui est une base d’un filtre sur X_{λ}—pourquoi?), converge vers x_{λ}. Exercice 3 (4)

i) Démontrer qu’un espace topologique X admettant une base de topologie dénombrable est séparable et que la réciproque est vraie si X est métrisable. Exercice 4 (7)

a) Montrer que sur ℝ l’ensemble des intervalles de la forme [a, b[, a < b, est une base d’une topologie T plus fine que la topologie euclidienne.

b) Montrer que T est séparée et que tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages fermés.

c) Montrer que (ℝ, T ) est séparable.

d) Montrer que la topologie T n’admet pas de base de topologie dénombrable et en déduire que (ℝ, T ) n’est pas métrisable.

t.s.v.p

2^{me} partie: ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

cours 5 (7=1,5+1+1+1+2,5)

a) Donner les définitions des termes suivants:

i) espace vectoriel topologique, espace vectoriel topologique localement convexe, espace de Fréchet, ii) fonctionnelle (ou jauge de Minkowskii).

b) Enoncer le théorème d’Alaoglu-Bourbaki.

c) Enoncer le troisième théorème de séparation.

d) Enoncer et démontrer le théorème de Mazur. Exercice 6 (3) Soit E = (E, ∥ · ∥) un espace normé et σ = σ(E, E^{∗}) la topologie faible sur E. Montrer qu’une suite (x_{n}) dans (E, σ) converge faiblement vers x ∈ E si et seulement si f(x_{n}) converge vers f(x) pour tout f ∈ E^{∗}. Exercice 7 (5=3+1+1)

a) Soit E un espace vectoriel topologique. Montrer que le dual topologique E^{∗} de E est nontrivial, c’est à dire E^{∗} ≠ 0, si et seulement si l’origine dans E admet un voisinage convexe U, U ≠ E.

b) Donner, sans démonstration, des exemples d’espaces vectoriel topologiques E, E ≠ {0}, tels que {0} = E^{∗}.

c) Donner, sans démonstration, des exemples d’espaces vectoriel topologiques E non normalisable, tel que E^{∗} soit séparante. Exercice 8 (5) Soient E un espace norm sur 𝕂 = ℝ ou ℂ, x_{1}, ⋯, x_{n} ∈ E des vecteurs linairement indpendants et α_{1}, ⋯, α_{n} ∈ 𝕂. Montrer qu’il existe une application linaire continue f : E → 𝕂 telle que f(x_{k}) = α_{k} pour tout k ∈ {1, ⋯, n}.