UNIVERSITE DE METZ Année Universitaire 1999/2000

Département de Mathématiques mardi, le 25 janvier 2000, 12.30-16.30 h.

Prof. Raymond Mortini N^{o} d’anonymat: \overline{| | | − | | | | − | | | |}

Examen analyse réelle maîtrise

Documents non autorisés

1^{ere} partie: TOPOLOGIE

cours (3) Enoncer le lemme d’Urysohn ainsi que les théorèmes de Tietze et de Tychonov. Exercice 1 (4=2+2)

(a) Donner les définitions suivantes: filtre, point adhérent à un filtre, convergence (ou limite) d’un filtre base d’un filtre, convergence d’une base d’un filtre.

(b) Soit X un espace topologique. Montrer les assertions suivantes:

i) Si x ∈ X est un point adhérent à un filtre F sur X, alors il existe un filtre F′ plus fin que F sur X tel que x soit une limite de F′. ii) Si x ∈ X est limite d’un filtre F sur X, alors x est point adhérent à chaque filtre moins fin que F.

Exercice 2 (13=8+2+2+1)

Supposons que X_{1} = ℕ soit muni de la topologie cofinie, que X_{2} = ℕ soit muni de la topologie codénombrable et que X_{3} = ℝ soit muni de la topologie codénombrable.

(a) Les espaces X_{i}, i = 1, 2, 3 sont-ils T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}, A_{1}, discret, compact, séquentiellement compact, localement compact, métrisable?

(b) Déterminer toutes les parties compactes de X_{1}, X_{2}, X_{3}. Est-ce que toute partie compacte de X_{3} est-elle fermée?

(c) Déterminer toutes les suites convergentes dans X_{2} et X_{3}. A-t-on unicité de la limite?

(d) La suite (x_{n})_{n} donnée par x_{n} = n converge-t-elle dans X_{1}? Si oui, vers quel(s) élément(s)?

t.s.v.p.

2^{me} partie: ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

cours (6=3+1,5+1,5)

(a) Enoncer le théorème de normalization de Kolmogorov, le théorème de Hahn-Banach pour les espaces localement convexes et un théorème de séparation.

(b) Soit E un espace vectoriel topologique. Donner les définitions suivantes: ensemble borné de E, ensemble absorbant de E, ensemble équilibré.

(c) Soit E un espace normé. Est-ce que la boule unité B = {x ∈ X : ∥x∥_{op} ≤ 1} est-elle compacte si X = (E^{∗}, ∥ · ∥_{op}), X = (E^{∗}, σ(E^{∗}, E^{∗∗})), X = (E^{∗}, σ(E^{∗}, E))? Exercice 3 (5) Soit E un espace vectoriel topologique sur le corps 𝕂 = ℂ ou ℝ et soit V un voisinage de 0_{E} dans E.

(a) Montrer qu’il existe des scalaires λ_{n} ∈ 𝕂 tel que E = ⋃_{n∈ℕ} λ_{n}V. En déduire que si F ⊆ E est un sous-espace propre de E, alors F^{∘} = ∅.

(b) Montrer que M ⊆ E est borné si et seulement si pour toute suite (x_{n}) dans M et toute suite de scalaires α_{n} ∈ 𝕂 convergente vers 0, la suite α_{n}x_{n} converge vers 0_{E}. Exercice 4 (5) Soit E = C^{∞}([0, 1]) l’espace des fonctions infiniment différentiables sur [0, 1]. Soit P = {p_{n} : n ∈ ℕ} la famille des semi-normes p_{n}(f) = max |f^{(n)}| et soit T_{P} la topologie localement convexe i.t. engendrée par P. En plus, soit d la distance

d(f, g) = ∑_{n∈ℕ} \frac{1}{2^{n}} \frac{p_{n}(f − g)}{1 + p_{n}(f − g)}.

(a) Est-ce que la topologie induite par d sur E coïncide avec T_{P}?

(b) Montrer que (E, T_{P}) n’est pas normable. Exercice 5 (4) Soit P une famille de semi-normes sur un espace vectoriel E. Supposons que P soit saturée, c’est à dire que p_{j} ∈ P(j = 1, 2) implique que p = max{p_{1}, p_{2}} ∈ P. Soit T_{P} la topologie localement convexe i.t. engendrée par P. Montrer qu’une forme linéaire f sur E = (E, T_{P}) est continue si et seulement si il existe p ∈ P et M > 0 tel que |f(x)| ≤ Mp(x) pour tout x ∈ E.