UNIVERSITE DE METZ Année Universitaire 1999/2000 Département de Mathématiques Raymond Mortini, Benjamin Cahen

AR 5 (maîtrise) espaces vectoriels topologiques (1)

Exercice 26 Soit M un sous-ensemble d’un espace vectoriel E sur le corps 𝕂 = ℝ ou 𝕂 = ℂ.

(a) Supposons que M soit équilibré. Alors M est absorbante si pour tout x ∈ E il existe α > 0 tel que x ∈ αM. Est-ce que cette caractérisation reste vraie si M n’est pas équilibré?

(b) Montrer que M est à la fois équilibré et convexe si et seulement si M est absolument convexe, c’est à dire si ∀x, y ∈ M et ∀α, β ∈ 𝕂 avec |α| + |β| ≤ 1 on a αx + βy ∈ M. Exercice 27

(a) On muni ℝ^{n} avec la topologie euclidienne. Montrer qu’un ouvert C non vide de ℝ^{n} est la boule unité d’une norme sur ℝ^{n} si et seulement si C est convexe, symétrique par rapport à l’origine, c’est à dire C = −C et borné (par rapport à la norme euclidienne).

(b) Déterminer tous les ouverts de ℂ, (muni avec la topologie euclidienne), qui peuvent être représentés comme boule unité d’une norme sur ℂ, (ℂ vu comme espace vectoriel sur ℂ). Exercice 28 Soit E un espace vectoriel topologique et C ⊆ E un sous-ensemble convexe. Montrer que C^{∘} et \overline{C} sont convexes. Exercice 29 Soit C un ouvert convexe non vide d’un espace vectoriel topologique E et soit M un sousespace affine de E tel que M ∩ C = ∅. Montrer qu’il existe un hyperplan affine fermé H de E tel que M ⊆ H et H ∩ C = ∅. Exercice 30 Soit E un espace vectoriel topologique. Montrer que le dual topologique E^{∗} de E est nontrivial, (c’est à dire E^{∗} ≠ {0}), si et seulement l’origine dans E admet un voisinage convexe U, U ≠ E.

Exercice 31 Soit 0 < p < 1 et L^{p}[0, 1] l’espace vectoriel des (classes d’équivalences) de fonctions intégrables à la p-ième puissance au sens de Lebesgue. Démontrer:

(a) L’application d(f, g) = ∥f − g∥_{p}^{p} = ∫_{0}^{1} |f − g|^{p} dt définit une distance complète sur L^{p}[0, 1] .

(b) (L^{p}[0, 1], ∥ · ∥_{p}^{p}) est un espace vectoriel topologique, localement borné.

(c) Les seuls sous-ensembles convexes et ouverts de L^{p}[0, 1] sont l’ensemble vide et L^{p}[0, 1].

(d) L^{p}[0, 1] n’est pas un espace topologique localement convexe.

(e) Le dual topologique de L^{p}[0, 1] est le singleton {0}.

(f) Il existe des sous-espaces vectoriels F de L^{p}[0, 1] et des formes linéaires continues sur F qui n’admettent pas de prolongement continue sur L^{p}[0, 1]. Indication pour (c): démontrer d’abord que pour tout f ∈ L^{p}[0, 1] et tout n ∈ ℕ^{∗} il existe t_{i} ∈ [0, 1], 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n} = 1 tel que ∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} |f|^{p} dt = \frac{1}{n}∥f∥_{p}^{p}, i = 1, ⋯, n. Exercice 32 Soit E un espace vecoriel et P la famille de toutes les semi-normes sur E. Montrer que (E, P) est un espace vectoriel topologique localement convexe et que toutes les formes linéaires sur E sont continues. Exercice 33 Soient P_{j} = {∥ · ∥_{i} : i ∈ I_{j}}, j = 1, 2 deux familles de semi-normes sur un espace vectoriel E. Montrer que la topologie définie par P_{1} sur E est moins fine que celle définie par P_{2} si et seulement si pour tout i ∈ I_{1} il existe une partie finie S ⊆ I_{2} et une constante C > 0 telle que

∀x ∈ E : ∥x∥_{i} ≤ C max_{j∈S} ∥x∥_{j}.

Exercice 34 Soit E un espace vectoriel topologique. Montrer que E est séparé. Est-ce que E est régulier? normale *? Exercice 35 Montrer que l’espace H(ℂ) des fonctions entières, muni avec la distance

d(f, g) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} \frac{∥f − g∥_{n}}{1 + ∥f − g∥_{n}} avec ∥f∥_{n} := max_{|z|≤n} |f(z)|

est un espace vectoriel topologique qui n’est pas normable.