UNIVERSITE DE METZ Année Universitaire 1999/2000 Département de Mathématiques

Raymond Mortini, Benjamin Cahen

AR 4 (maîtrise) Alexandrov et Hahn-Banach

Exercice 21

(a) Soit (X, T ) un espace topologique spar, localement compact mais pas compact et soit ∞ un lment qui n’est pas contenu dans X. Soit X_{∞} = X ∪ {∞} et

T_{∞} = T ∪ {H ∪ {∞} : H ⊆ X, X \ H compact}

Montrer que:

(1) T_{∞} est une topologie sur X_{∞}.

(2) (X_{∞}, T_{∞}) est spar.

(3) X est dense dans X_{∞}.

(4) X_{∞} est compact. X_{∞} s’appelle le compactifi d’Alexandroff de X.

(b) Est-ce qu’il existe une topologie séparée O sur ℝ, telle que (ℝ, O) soit compact?

(c) Est-ce que ℚ, muni avec la topologie euclidienne, est un espace localement compact?

Exercice 22

Soit X un espace T_{4}, A ⊆ X et g, h ∈ C(X), g ≤ h. Montrer, l’une après l’autre, les assertions suivantes:

f : A → [0, 1[ continue ⟹ f admet prolongement continue F : X → [0, 1[

f : A →] − 1, 1[ continue ⟹ f admet prolongement continue F : X →] − 1, 1[

f : A → ℝ continue ⟹ f admet prolongement continue F : X → ℝ

f : A → [0, ∞[ continue ⟹ f admet prolongement continue F : X → [0, ∞[

f : A → ℝ continue, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ A ⟹ f admet prolongement continue f^{∗} : X → ℝ telle que g(x) ≤ f^{∗}(x) ≤ h(x) ∀x ∈ X.

Exercice 23

Soient E un espace norm sur 𝕂 = ℝ ou ℂ, x_{1}, ⋯, x_{n} ∈ E des vecteurs linairement indpendants et α_{1}, ⋯, α_{n} ∈ 𝕂. Montrer qu’il existe une application linaire continue f : E → 𝕂 telle que f(x_{k}) = α_{k} pour tout k ∈ {1, ⋯, n}.

Exercice 24

(1) Soit ℓ^{∞} l’espace de Banach des suites réelles bornées. Montrer qu’il existe une forme linéaire L continue sur ℓ^{∞} de norme 1 telle que pour tout x = (ξ_{k}) ∈ ℓ^{∞}

lim inf_{k→∞} ξ_{k} ≤ L(x) ≤ lim sup_{k→∞} ξ_{k}

et que L(ξ_{1}, ξ_{2}, ⋯) = L(ξ_{2}, ξ_{3}, ⋯). Indication: considérer sur le sous espace vectoriel

F = \{(ξ_{k}) ∈ ℓ^{∞} : lim_{n→∞} \frac{ξ_{1} + ⋯ + ξ_{n}}{n} existe\}

l’application (ξ_{k}) ↦ lim_{n→∞} \frac{ξ_{1}+···+ξ_{n}}{n}.

(2) Soit E un espace normé. Est-ce que E séparable implique E^{∗} séparable? Est-ce que E^{∗} séparable implique E séparable?

(3) En déduire que (ℓ^{∞})^{∗} n’est pas isomorphe isométrique à ℓ^{1}. Exercice 25 Soit X un espace de Banach, F ⊆ X un sous-espace fermé, et S ∈ L(F, ℓ^{∞}) une application linéaire continue. Montrer qu’il existe T ∈ L(X, ℓ^{∞}), qui prolonge S et qui satisfait ∥S∥ = ∥T ∥.