UNIVERSITE DE METZ Année Universitaire 1999/2000 Département de Mathématiques

Raymond Mortini, Benjamin Cahen

AR 3 (maîtrise) espaces compacts et produits topologiques

Exercice 12

Soit X un espace séparé et (x_{n})_{n∈ℕ} une suite de X convergeant vers un point x. Montrer que l’ensemble {x, x_{1}, ..., x_{n}, ...} est compact. Est-ce que cette assertion est vraie si on considère des suites généralisées?

Exercice 13

Montrer que chaque espace séparé compact est normal, c’est à dire satisfait les axiomes T_{1} et T_{4}. Exercice 14

Soit X un espace topologique.

(1) Montrer que X est homomorphe la diagonale Δ = {(x, x) : x ∈ X} de l’espace produit X × X.

(2) Montrer que X est spar si et seulement si Δ est ferme dans X × X.

(3) Soient f et g deux applications continues de X dans un espace topologique spar Y. Montrer que {x ∈ X : f(x) = g(x)} est une partie ferme de X. En dduire en particulier que si les applications f et g concident sur un sous ensemble partout dense de X, alors elles sont gales.

(4) Soit f une application continue d’un espace topologique X dans un espace topologique spar Y. Montrer que le graphe de f est une partie ferme de l’espace produit X × Y.

(5) Soient X et Y deux espace séparés. Supposons que X soit compact. Montrer qu’une application f : X → Y est continue si et seulement si le graphe de f est compact.

Exercice 15

Soit (X_{i}), i ∈ Λ une famille non vide d’espaces topologiques et, pour tout i, A_{i} une partie de X_{i}.

(1) Montrer qu’un produit de parties fermes est une partie ferme de l’espace produit X = ∏_{i∈Λ} X_{i} .

(2) En dduire que, dans l’espace produit X on a: ∏_{i∈Λ} \overline{A_{i}} = \overline{(∏_{i∈Λ} A_{i})}.

Exercice 16

Soient X et Y deux espaces topologiques, A une partie de X et B une partie de Y. Montrer que, X × Y tant muni de la topologie produit, on a:

∂(A × B) = (Ā × ∂B) ∪ (∂A × B̄).

Exercice 17

Soient X_{i}(i ∈ Λ) des espaces spars. Montrer que le produit X = ∏_{i∈Λ} X_{i} est un espace topologique rgulier si et seulement si tous les X_{i} sont rguliers.

Montrer que la normalit de X = ∏_{j=1}^{n} X_{j} entraine celle des X_{j}, (j = 1, ⋯, n). Donner un exemple qui montre que la rciproque n’est plus vraie.

Exercice 18

Montrer q’un produit topologique fini X = ∏_{j=1}^{N} X_{j} est localement compact si et seulement tous les X_{j} sont localement compact. Est-ce que cette assertion reste vraie pour des produits infinis?

Exercice 19

On dit qu’un espace topologique est un espace de Baire, si toute intersection dénombrable d’ouverts non vides denses est dense dans X. Montrer que chaque espace spar et localement compact est un espace de Baire.

Exercice 20

Soient X un espace topologique, R une relation d’équivalence sur X, X/R l’espace quotient, π : X → X/R la surjection canonique. Si A ⊆ X, l’ensemble π^{−1}(π(A)) est appelé le saturé de A. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:

(1) l’application π est ouverte (resp. fermée)

(2) le saturé de tout ouvert (resp. fermé) est ouvert (resp. fermé)