UNIVERSITE DE METZ Année Universitaire 1999/2000 Département de Mathématiques

Raymond Mortini, Benjamin Cahen

AR 1 (maîtrise) espaces topologiques

Exercice 1

Soient A et B deux parties d’un espace topologique. Montrer que:

(a) (A ∪ \overline{B})^{0} ⊆ A^{0} ∪ \overline{B}

(b) A^{0} ∩ \overline{B} ⊆ \overline{(A^{0}) ∩ B}.

Exercice 2

Soient X et Y deux espaces topologiques et f : X ⟶ Y. Montrer l’quivalence des proprits suivantes:

(i) f est continue.

(ii) ∀A ⊆ Y, f^{−1}(A^{0}) ⊆ (f^{−1}(A))^{0}.

(iii) ∀A ⊆ Y, \overline{(f^{−1}(A))} ⊆ f^{−1}(\overline{A}).

Donner un contre exemple l’galit dans (ii) et (iii).

Exercice 3

(a) ℝ est muni de sa topologie usuelle. Que peut-on dire d’un espace topologique (X, O) tel que toute application f : X ⟶ ℝ soit continue?

(b) Est-ce-qu’il existe un espace topologique X non discret tel que toute application f : X → ℝ, ℝ muni de la topologie usuelle, est squentiellement continue, c..d. satisfait f(x_{n}) → f(x) si x_{n} → x (n ∈ ℕ) ?

Exercice 4

Soit X un ensemble non-dénombrable et soit T = {E ⊆ X : E^{c} dénombrable } ∪ {∅}.

(1) Montrer que T est une topologie non séparée telle que l’intersection d’un nombre dénombrable d’ouverts non vide est un ouvert. Est-ce que cette intersection peut être vide? Décrire les fermés dans X.

(2) Soit A ⊆ X. Déterminer \overline{A} et A^{∘} et ∂A.

(3) Soit X = ℝ muni avec la topologie T ci-dessus. Est-ce que l’application identité id : (ℝ, T ) → (ℝ, | · |) est continue? Même question pour sa réciproque. Est-ce qu’on peut comparer ces deux topologies? Montrer que ℚ, muni avec la topologie induite par T , est un espace discret. Est-ce que ℚ, muni avec la topologie euclidienne, est discret?

(4) Déterminer toutes les suites convergeantes sur (X, T ).

(5) Soit Y un espace topoloqique quelconque. Montrer que chaque application f : X → Y est séquentiellement continue -c’est à dire que x_{n} → x implique f(x_{n}) → f(x).

(6) Montrer que toutes les fonctions continues de X dans ℝ sont constantes.

(7) Soit f : X → X une application continue, non constante. Montrer que f(X) n’est pas dénombrable.

(8) Montrer que toutes les bijections de X dans X sont des homéomorphismes.

Exercice 5

Soit X = ℕ × ℕ et S_{m} = {(m, n) : n ∈ ℕ} (m ∈ ℕ) . Pour (m, n) ≠ (0, 0) , soit Ω((m, n)) la famille de tous les ensembles V ⊆ X tel que (m, n) ∈ V et soit Ω((0, 0)) la famille de tous les V ⊆ X, (0, 0) ∈ V, tel qu’il existe un m_{0} ∈ ℕ tel que presque tous les lments de S_{m} sont contenus dans V pour chaque m ≥ m_{0}.

(1) Montrer que les axiomes de voisinages V_{1}, ⋯, V_{5} sont satisfaits.

Soit maintenant T la topologie dfinie par le systme de voisinages

{Ω((m, n)) : (m, n) ∈ ℕ × ℕ},

A = X \ {(0, 0)} et (a_{n})_{n∈ℕ} : ℕ → A une application surjective. Montrer que:

(2) (0, 0) est une valeur d’adhrence de (a_{n}), mais qu’il n’existe pas de sous-suite de (a_{n}) qui converge vers (0, 0).

(3) (0, 0) est un point adhrent l’ensemble A, donc que A n’est pas ferm, mais que A est squentiellement ferm.

Exercice 6

a) Montrer que sur ℝ l’ensemble des intervalles de la forme [a, b[, a < b, est une base d’une topologie T strictement plus fine que la topologie euclidienne usuelle.

b) Montrer que cette topologie est séparée et que tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages fermés.

c) Montrer que (ℝ, T ) est séparable. Est-ce un espace régulier?

d) Montrer que la topologie T n’admet pas de base topologique dénombrable.

e) Est-ce que (ℝ, T ) est métrisable?

Exercice 7

Un espace topologique spar (X, T ) est dite normal si deux ferms disjoints quelconques ont des voisinages disjoints. Montrer que (X, T ) est normal si et seulement si pour tout ouvert G de X et pour tout ferm F de X tel que F ⊆ G, il existe un ouvert U tel que F ⊆ U ⊆ \overline{U} ⊆ G. Dmontrer que chaque espace mtrique est normal. Donner des exemples d’espaces spars qui ne sont pas normals.