UNIVERSITE DE METZ Année Universitaire 2001/2002 Département de Mathématiques Prof. Raymond Mortini

AR 3 (maîtrise) espaces topologiques

Exercice 16 Soit X un espace séparé et (x_{n})_{n∈ℕ} une suite de X convergeant vers un point x. Montrer que l’ensemble {x, x_{1}, ..., x_{n}, ...} est compact. Est-ce que cette assertion est vraie si on considère des suites généralisées? Exercice 17 Soit f une application injective entre deux espaces métriques X et Y. Montrer l’équivalence des assertions suivantes:

(1) f est continue

(2) la restriction de f à toute partie compacte de X est continue.

(3) f(C) est compact pour toute partie compacte C de X. Lesquelles des équivalences restent vraies si on ne suppose plus que f est injective? Est-ce-qu’on peut remplacer “espaces métriques” par “espaces topologiques séparés”? Exercice 18

(a) Soit E un ensemble, f une application de E dans E. On note A l’intersection des f^{n}(E) pour n entier naturel. Montrer que f(A) ⊆ A. A-t-on toujours f(A) = A ?

(b) Soit E un espace séparé compact et f une application continue de E dans E. On note K l’intersection des f^{n}(E) pour n entier naturel. Montrer que K est une partie compacte non vide et que f(K) = K. Exercice 19 Soit (E, d) un espace métrique compact et f : E ⟶ E une isométrie ( c.àḋ ∀(x, y) ∈ E^{2}, d(x, y) = d(f(x), f(y))).

(a) Montrer que f est bijective ( considérer la suite des itérés par f d’un élément de E).

(b) Montrer que si E et F sont des espaces métriques compacts et si f : E ⟶ F et g : F ⟶ E sont deux isométries alors f et g sont bijectives. Exercice 20 Montrer q’un produit topologique fini X = ∏_{j=1}^{N} X_{j} est localement compact si et seulement tous les X_{j} sont localement compact. Est-ce que cette assertion reste vraie pour des produits infinis? Exercice 21 On dit qu’un espace topologique est un espace de Baire, si toute intersection dénombrable d’ouverts non vides denses est dense dans X. Montrer que chaque espace séparé et localement compact est un espace de Baire. Exercice 22

(a) Soit (X, T ) un espace topologique séparé, localement compact mais pas compact et soit ∞ un élément qui n’est pas contenu dans X. Soit X_{∞} = X ∪ {∞} et

T_{∞} = T ∪ {H ∪ {∞} : H ⊆ X, X \ H compact}

Montrer que:

(1) T_{∞} est une topologie sur X_{∞}.

(2) (X_{∞}, T_{∞}) est séparé.

(3) X est dense dans X_{∞}.

(4) X_{∞} est compact. X_{∞} s’appelle le compactifié d’Alexandroff de X.

(b) Est-ce qu’il existe une topologie séparée O sur ℝ, telle que (ℝ, O) soit compact?

(c) Est-ce que ℚ, muni avec la topologie euclidienne, est un espace localement compact? Exercice 23

(a) Montrer qu’un espace topologique (X, T ) est T_{4} si et seulement si pour tout ouvert G de X et pour tout fermé F de X tel que F ⊆ G, il existe un ouvert U tel que F ⊆ U ⊆ \overline{U} ⊆ G.

(b) Démontrer que chaque espace métrique est normal.

(c) Montrer que chaque espace séparé et compact est normal. Donner des exemples d’espaces séparés qui ne sont pas normals. Exercice 24 Soient X_{λ}(λ ∈ Λ) des espaces séparés. Montrer que le produit X = ∏_{λ∈Λ} X_{λ} est un espace topologique régulier si et seulement si tous les X_{λ} sont réguliers. Montrer que la normalité de X = ∏_{λ} X_{λ} entraine celle des X_{λ}. Donner un exemple qui montre que le produit de deux espaces normaux n’est pas nécessairement normal. Exercice 25 Soit X un espace T_{4}, A ⊆ X fermé et g, h ∈ C(X), g ≤ h.

a) Soient I et J deux intervalles dans ℝ et h un homéomorphisme entre I et J. Montrer que si toute fonction continue f : A → I admet un prolongement continue F : X → I, alors toute fonction continue g : A → J admet un prolongement continue G : X → J.

b) Montrer, l’une après l’autre, les assertions suivantes: f : A → [0, 1[ continue ⟺ f admet prolongement continue F : X → [0, 1[ f : A →] − 1, 1[ continue ⟺ f admet prolongement continue F : X →] − 1, 1[ f : A → ℝ continue ⟺ f admet prolongement continue F : X → ℝ f : A → [0, ∞[ continue ⟺ f admet prolongement continue F : X → [0, ∞[ f : A → ℝ continue, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ A ⟺ f admet prolongement continue f^{∗} : X → ℝ telle que g(x) ≤ f^{∗}(x) ≤ h(x) ∀x ∈ X.