UNIVERSITE DE METZ Année Universitaire 2001/2002 Département de Mathématiques

Raymond Mortini

AR 2 (maîtrise) espaces topologiques

Exercice 10

(a) ℝ est muni de sa topologie usuelle. Que peut-on dire d’un espace topologique (X, O) tel que toute application f : X ⟶ ℝ soit continue?

(b) Est-ce-qu’il existe un espace topologique X non discret tel que toute application f : X → ℝ, ℝ muni de la topologie usuelle, est séquentiellement continue, c.à.d. satisfait f(x_{n}) → f(x) si x_{n} → x (n ∈ ℕ) ?

(c) Soient X un espace topologique du type A_{1}, c’est à dire à base dénombrable de voisinages. Soit Y un espace topologique tel que tout singleton soit fermé. Montrer qu’une application f : X → Y est continue en si et seulement si elle est séquentiellement continue. Est-ce que cette assertion reste vraie, si Y est un espace topologique arbitraire?

Exercice 11

Soit X un espace topologique.

(1) Montrer que X est homéomorphe à la diagonale Δ = {(x, x) : x ∈ X} de l’espace produit X × X.

(2) Montrer que X est séparé si et seulement si Δ est fermée dans X × X.

(3) Soient f et g deux applications continues de X dans un espace topologique séparé Y. Montrer que {x ∈ X : f(x) = g(x)} est une partie fermée de X. En déduire en particulier que si les applications f et g coïncident sur un sous ensemble partout dense de X, alors elles sont égales.

(4) Soit f une application continue d’un espace topologique X dans un espace topologique séparé Y. Montrer que le graphe de f est une partie fermée de l’espace produit X × Y.

(5) Soient X et Y deux espace séparés. Supposons que X soit compact. Montrer qu’une application f : X → Y est continue si et seulement si le graphe de f est compact.

Exercice 12

Soit (X_{i}), i ∈ Λ une famille non vide d’espaces topologiques et, pour tout i, A_{i} une partie de X_{i}.

(1) Montrer qu’un produit de parties fermées est une partie fermée de l’espace produit X = ∏_{i∈Λ} X_{i} .

(2) En déduire que, dans l’espace produit X on a: ∏_{i∈Λ} \overline{A_{i}} = \overline{(∏_{i∈Λ} A_{i})}.

Exercice 13

Soient X un espace topologique, R une relation d’équivalence sur X, X/R l’espace quotient, π : X → X/R la surjection canonique. Si A ⊆ X, l’ensemble π^{−1}(π(A)) est appelé le saturé de A. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:

(1) l’application π est ouverte (resp. fermée)

(2) le saturé de tout ouvert (resp. fermé) est ouvert (resp. fermé)

Exercice 14

Soit {X_{λ} : λ ∈ Λ} un système non vide d’espaces topologiques et X = ∏_{λ∈Λ} X_{λ} leur produit. Montrer qu’un filtre F sur X converge vers x = (x_{λ}) ∈ X si et seulement si pour tout λ le système π_{λ}(F), (qui est une base d’un filtre sur X_{λ}—pourquoi?), converge vers x_{λ}.

Exercice 15

(1) Montrer que dans un espace métrique une application f : X → X est continue si et seulement si elle est séquentiellement continue.

(2) Donner un exemple d’une injection continue d’une partie de ℝ dans ℝ^{2} qui ne soit pas un homéomorphisme.