UNIVERSITE DE METZ Année Universitaire 2001/2002 Département de Mathématiques

Raymond Mortini

AR 1 (maîtrise) espaces topologiques

Exercice 1

Soient A et B deux parties d’un espace topologique. Montrer que:

(a) (A ∪ \overline{B})^{0} ⊆ A^{0} ∪ \overline{B}

(b) A^{0} ∩ \overline{B} ⊆ \overline{(A^{0}) ∩ B}.

Exercice 2

Soit X un ensemble non-dénombrable et soit T = {E ⊆ X : E^{c} dénombrable } ∪ {∅}.

(1) Montrer que T est une topologie non séparée telle que l’intersection d’un nombre dénombrable d’ouverts non vide est un ouvert. Est-ce que cette intersection peut être vide? Décrire les fermés dans X.

(2) Soit A ⊆ X. Déterminer \overline{A} et A^{∘} et ∂A.

(3) Déterminer toutes les suites convergeantes sur (X, T ).

Exercice 3

Soit X = ℕ × ℕ et S_{m} = {(m, n) : n ∈ ℕ} (m ∈ ℕ) . Pour (m, n) ≠ (0, 0) , soit Ω((m, n)) la famille de tous les ensembles V ⊆ X tel que (m, n) ∈ V et soit Ω((0, 0)) la famille de tous les V ⊆ X, (0, 0) ∈ V, tel qu’il existe un m_{0} ∈ ℕ tel que presque tous les lments de S_{m} sont contenus dans V pour chaque m ≥ m_{0}.

(1) Montrer que les axiomes de voisinages V_{1}, ⋯, V_{5} sont satisfaits.

Soit maintenant T la topologie dfinie par le systme de voisinages

{Ω((m, n)) : (m, n) ∈ ℕ × ℕ},

A = X \ {(0, 0)} et (a_{n})_{n∈ℕ} : ℕ → A une application surjective. Montrer que:

(2) (0, 0) est une valeur d’adhrence de (a_{n}), mais qu’il n’existe pas de sous-suite de (a_{n}) qui converge vers (0, 0).

(3) (0, 0) est un point adhrent l’ensemble A, donc que A n’est pas ferm, mais que A est squentiellement ferm.

Exercice 4

Démontrer qu’un espace topologique X admettant une base de topologie dénombrable est séparable et que la réciproque est vraie si X est métrisable.

Exercice 5

a) Montrer que sur ℝ l’ensemble des intervalles de la forme [a, b[, a < b, est une base d’une topologie T strictement plus fine que la topologie euclidienne usuelle.

b) Montrer que cette topologie est séparée et que tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages fermés.

c) Montrer que (ℝ, T ) est séparable.

d) Montrer que la topologie T n’admet pas de base topologique dénombrable.

e) Est-ce que (ℝ, T ) est métrisable?

Exercice 6

Soit X un espace topologique. Montrer les assertions suivantes:

i) Si x ∈ X est un point adhérent à un filtre F sur X, alors il existe un filtre F′ plus fin que F sur X tel que x soit une limite de F′. ii) Si x ∈ X est limite d’un filtre F sur X, alors x est point adhérent à chaque filtre moins fin que F.

Exercice 7

Soit F un filtre sur un ensemble X ≠ ∅. On suppose que ∩_{M∈F}M = ∅. Montrer que X est infini et que F est plus fin que le filtre des complémentaires des parties finies de X.

Exercice 8

Soit (X, T ) un espace topologique, A ⊆ X et x ∈ X. Démontrer:

(1) A est ouvert si et seulement si A appartient à chaque filtre qui converge vers un élément de A.

(2) x ∈ \overline{A} si et seulement si A appartient à un filtre, qui converge vers x.

Exercice 9

a) Montrer qu’il existe des suites généralisées dans ℝ qui convergent, mais qui ne sont pas bornées.

b) Soit (E, d) un espace métrique, (x_{n})_{n∈ℕ} une suite dans E et (y_{α})_{α∈Ω} une suite généralisée dans E. Supposons que x_{n} ≠ x_{m} pour n ≠ m et y_{α} ≠ y_{β} pour α ≠ β.

i) Supposons que lim_{n} x_{n} = x existe. Déterminer \overline{\{x_{n} : n ∈ ℕ\}}. ii) Supposons que lim_{α} y_{α} = y existe et que y ∉ {y_{a} : α ∈ Ω}. Est-ce qu’à part des y_{α}, α ∈ Ω, y est le seul point adhérent à {y_{α} : α ∈ Ω}? iii) Soit α_{n} ∈ Ω choisi de façon tel que d(y_{α_{n}}, y) ≤ \frac{1}{n}. Est-ce que (y_{α_{n}})_{n∈ℕ} est une sous-suite de (y_{α})_{α∈Ω}?